Question

椭圆的右焦点F所对应的准线l与对称轴的交点为A，B是线段FA的中点，若以椭圆上的一点M为圆心，线段OF（O为坐标系原点）为半径的圆恰好经过F，B两点，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据题意F（c，0），A（

a2

c

，0），由中点坐标公式得B（

c2+a2

2c

，0）又以M为圆心，线段OF=c为半径的圆恰好经过F，B两点，得到M点在x轴上的射影是F，B的中点，再求得到右准线的距离由椭圆的第二定义可解得离心率．

解答：解：根据题意：F（c，0），A（

a2

c

，0）
∴B（

c2+a2

2c

，0）
∵以M为圆心，线段OF=c为半径的圆恰好经过F，B两点，
∴M点在x轴上的身影是F，B的中点
∴其横坐标是：

3c2+a2

2c

∴M点到右焦点的距离为：c，到右准线的距离为：|

a2-3c2

2c

|
又M为椭圆上的点
∴e=

c

| a2-3c2 2c |

=

-2+ 13

3

，
故答案为：

-2+ 13

3

．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，渗透圆后考查等腰三角形，中点坐标公式，得到相关量，来应用椭圆的第二定义求解离心率．