Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上顶点M与左、右焦点F₁，F₂构成三角形MF₁F₂面积为$\sqrt{3}$，又椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且x₁+x₂=2，又直线l₁：y=k₁x+m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆离心率，$bc=\sqrt{3}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程．
（Ⅱ）设AB的中点D（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出x₀，y₁+y₂=2y₀．（y₀≠0）又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在椭圆C上，利用平方差法，推出${k_{AB}}=-\frac{1}{{4{y_0}}}$．通过D$（1，-\frac{m}{3}）$在椭圆C内部，得到$\frac{1}{4}+{（-\frac{m}{3}）^2}＜1$，求出m的范围．
（Ⅲ）推出S_△TMN=$\frac{1}{2}|{MN}||t|$=|t|，S_△TEF=$\frac{|t|（{t}^{2}+12）^{2}}{{（t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}$，利用$k=\frac{{{S_{△TMN}}}}{{{S_{△TEF}}}}$，通过二次函数的最值求解k的最大值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又$bc=\sqrt{3}$，a²=b²+c²
解得a=2，b=1，∴椭圆方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．．…（4分）
（Ⅱ）设AB的中点D（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2x₀=2，所以x₀=1，y₁+y₂=2y₀．（y₀≠0）
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在椭圆C上，所以  $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1，①\\ \frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1．②\end{array}\right.$
由②-①得$\frac{x_2^2-x_1^2}{4}+y_2^2-y_1^2=0$，即${k_{AB}}=-\frac{1}{{4{y_0}}}$．…（6分）
即${k_1}=-\frac{1}{{{k_{AB}}}}=4{y_0}$，l₁：y=4y₀x+m．当x₀=1时，y₀=4y₀+m，所以${y_0}=-\frac{m}{3}$．
所以D点的坐标为$（1，-\frac{m}{3}）$．又D$（1，-\frac{m}{3}）$在椭圆C内部，所以$\frac{1}{4}+{（-\frac{m}{3}）^2}＜1$，
解得$-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}＜m＜\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$且m≠0．…（9分）
（Ⅲ）因为S_△TMN=$\frac{1}{2}|{MN}||t|$=|t|，
直线方程为：y=$\frac{1}{t}x+1$，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{1}{t}x+1}\end{array}\right.$，得x_E=$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，
所以E（$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$）到直线3x-ty-t=0的距离
d=$\frac{|\frac{-24t}{{t}^{2}+4}-\frac{t（{t}^{2}-4）}{{t}^{2}+4}-t|}{\sqrt{{t}^{2}+9}}$=$\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$，
直线方程为：y=$\frac{3}{t}x-1$，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{3}{t}x-1}\end{array}\right.$，得x_F=$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$，
所以F（$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$，$\frac{36-{t}^{2}}{{t}^{2}+36}$），
∴|TF|=$\sqrt{（t-\frac{24t}{{t}^{2}+36}）^{2}+（2-\frac{36-{t}^{2}}{{t}^{2}+36}）^{2}}$=$\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}$，
∴S_△TEF=$\frac{1}{2}TF•d$=$\frac{1}{2}$•$\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}$•$\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$=$\frac{|t|（{t}^{2}+12）^{2}}{{（t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}$，
所以$k=\frac{{{S_{△TMN}}}}{{{S_{△TEF}}}}$=$\frac{{（{t^2}+36）（{t^2}+4）}}{{{{（{t^2}+12）}^2}}}$，
令t²+12=n＞12，则$k=\frac{（n-8）（n+24）}{n^2}$=$1+\frac{16}{n}-\frac{192}{n^2}≤\frac{4}{3}$，
当且仅当n=24，即$t=±2\sqrt{3}$等号成立，
所以k的最大值为$\frac{4}{3}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，二次函数的最值的求法，难度比较大．