Question

已知函数，其中是常数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在定义域内是单调递增函数，求的取值范围；

（Ⅲ）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）； （3）

【解析】

试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.(2)对于转化为恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）

（3)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得然后由相应条件的到参量的范围.

试题解析：(Ⅰ)由可得

．

当时,

所以 曲线在点处的切线方程为

即

（Ⅱ） 由(Ⅰ)知，若是单调递增函数，则恒成立，

 

即恒成立，∴，

，所以的取值范围为．

（Ⅲ）令，则关于的方程在上有两个不相等的实数根.

令，

解得或．

当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.

所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根．

当，即时，随的变化情况如下表

		↘		↗

 

由上表可知函数在上的最小值为．

因为 函数是上的减函数，是上的增函数，

且当时，

所以要使方程即在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是.

考点：导数以及函数性质的应用.