Question

19．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-2≤0\\ 2x+y-4≥0\\ y≤2\end{array}\right.$，则$\frac{x}{y}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 设k=$\frac{y}{x}$，则$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\frac{y}{x}}$=$\frac{1}{k}$，利用k的几何意义，以及数形结合进行求解即可．

解答 解：设k=$\frac{y}{x}$，则$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\frac{y}{x}}$=$\frac{1}{k}$，
则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
作出不等式组对应的平面区域，
由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（$\frac{3}{2}$，1），
则OA的斜率k=2，OC的斜率k=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
则$\frac{2}{3}$≤k≤2，
则$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{k}$≤$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤$\frac{x}{y}$≤$\frac{3}{2}$，
则$\frac{x}{y}$的范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用k的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．