Question

9．已知函数f（x）=cosx，x∈（$\frac{π}{2}$，3π），若方程f（x）=m有三个从小到大排列的根x₁，x₂，x₃，且x₂²=x₁x₃，则m的值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出函数y=cosx的图象和直线y=a，得两个图象在（$\frac{π}{2}$，3π）有三个交点A、B、C，满足A、B关于x=π对称且B、C关于x=2π对称，结合三个根从小到大依次成等比数列列出横坐标x₁、x₂、x₃的方程组，解之可得x₂的值，从而得出实数m的值．

解答 解：同一坐标系中作出y=cosx和y=m的图象，
设两个图象在（$\frac{π}{2}$，3π）上有三个交点A、B、C，
则A、B、C的横坐标分别对应方程f（x）=m的三个根，
得A（x₁，m），B（x₂，m），A（x₃，m），
根据余弦函数图象的对称性，得$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=π，得x₁+x₂=2π，
且$\frac{{x}_{2}{+x}_{3}}{2}$=2π，x₂+x₃=4π，
∵三个根从小到大依次成等比数列，即x₂²=x₁x₃，
∴x₂²=（2π-x₂）（4π-x₂），解之得x₂=$\frac{4π}{3}$，
因此，x₁=$\frac{2π}{3}$，x₂=$\frac{4π}{3}$，x₃=$\frac{8π}{3}$，得m=cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题给出余弦曲线上三个点构成两组对称的点，求该点的纵坐标值，着重考查了等比数列的性质和余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．