Question

4．已知函数f（x）=lnx-x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），求证：a₁a₂a₃…a_n＜e（e为自然对数的底数）；
（3）若k＜$\frac{xf（x）+{x}^{2}}{x-1}$对任意x＞2恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意先求函数的导函数f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求出满足条件的范围，即可求出函数的单调区间；
（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）＜x．由an=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$ （n∈N+），令k=1，2，3，…，n，累加后，利用放缩法可得答案；
（3）令g（x）=$\frac{xf（x）+{x}^{2}}{x-1}$（x＞2），求出g′（x）令h（x）=x-lnx-1，求出h′（x），根据函数的单调性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
证明：（2）由（1）知，当x≥1时，f（x）≤f（1）=-1，即lnx＜x-1．
∵a_n=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N+），
∴lna_k=ln（1+$\frac{1}{{2}^{k}}$）＜$\frac{1}{{2}^{k}}$．
令k=1，2，3，…，n，这n个式子相加得：
lna₁+lna₂+lna₃+…+lnan
＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
即ln（a₁a₂a₃•…•a_n）＜1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a₁a₂a₃…a_n＜${e}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$＜e，
∴a₁a₂a₃…a_n＜e；
解：（3）令g（x）=$\frac{xf（x）+{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{xlnx}{x-1}$（x＞2），则g′（x）=$\frac{x-lnx-1}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-1，则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故h（x）在（2，+∞）上单调递增，
而h（2）=1-ln2＞0，
∴k≤1-ln2，
故k的最大值是1-2ln2．

点评 本题考查的知识点是数列与函数的综合，不等式的证明，恒成立问题，利用导数求函数的最值，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．