Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x²+y²=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为[$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\sqrt{6}+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．

解答 解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x²+y²=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得B（$-\sqrt{3}$，1）或（$\sqrt{3}$，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得C（1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）
解得BC_min=$\sqrt{（{\sqrt{3}-1）}^{2}+（1-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
BC_max=$\sqrt{（-\sqrt{3}-1）^{2}+（1+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．
故答案为：[$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\sqrt{6}+\sqrt{2}$]．

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用、考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于难题．