Question

12．已知$\overrightarrow{OA}$=（1，2，3），$\overrightarrow{OB}$=（2，1，2），$\overrightarrow{OC}$=（1，1，2），点M在直线OC上运动，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最小值为$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用向量共线定理和数量积运算、二次函数的单调性等即可得出．

解答 解：设M（x，y，z），
∵点M在直线OC上运动，
∴存在实数λ，使得$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OC}$，
∴（x，y，z）=λ（1，1，2），得到x=λ，y=λ，z=2λ．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1-λ，2-λ，3-2λ）•（2-λ，1-λ，2-2λ）
=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=6λ²-16λ+10=$6（λ-\frac{4}{3}）^{2}-\frac{2}{3}$．
当且仅当$λ=\frac{4}{3}$时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取得最小值．
此时M$（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{8}{3}）$．最小值为$-\frac{2}{3}$，
故答案为：$-\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查向量数量积的计算，熟练掌握向量共线定理和数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键．