Question

2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+2，则f（a_n）=（　　）

• A． 0
• B． 0或1
• C． -1或0
• D． 1或-1

Answer 1

分析 由满足f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），因此函数f（x）是周期为2的函数．由S_n=2a_n+2，利用递推关系可得a_n．再利用周期性与奇函数的性质f（0）=0即可得出．

解答 解：由满足f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），因此函数f（x）是周期为2的函数．
∵S_n=2a_n+2，
∴a₁=2a₁+2，解得a₁=-2．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+2-（2a_n-1+2），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为-2，公比为2．
∴a_n=-2×2^n-1=-2ⁿ．
则f（a_n）=f（-2ⁿ）=-f（2ⁿ）=-f（0），
又函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0．
∴f（a_n）=-f（0）=0，
故选：A．

点评 本题考查了数列的递推关系、函数的奇偶性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．