Question

1．已知正实数x，y满足x+y=2，则x+$\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}$的最小值为2．

Answer 1

分析 由配方可得x+$\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}$=x+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的几何意义是直线x+y=2上动点P（x，y）到A（1，0）和到y轴的距离的和，过A作直线x+y=2的对称点B，过B再作y轴的垂线，垂足为H，BH的长为最小值．计算对称点B，即可得到所求最小值．

解答 解：x+$\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}$=x+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的几何意义是
直线x+y=2上动点P（x，y）到A（1，0）和到y轴的距离的和，
如图，过A作直线x+y=2的对称点B，
过B再作y轴的垂线，垂足为H，BH的长为最小值．
设B（m，n），可得$\frac{n-0}{m-1}$=1，$\frac{1}{2}$（m+1）+$\frac{1}{2}$n=2，
解得m=2，n=1，
即B（2，1），则|BH|=2．
故答案为：2．

点评 本题考查最值的求法，注意运用几何意义，以及对称思想，考查运算能力，属于中档题．