Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝kn(n＋1)－n(k∈R)，公差d为2.

(1)求an与k；

(2)若数列{bn}满足，(n≥2)，求bn.

 

Answer 1

(1)an＝2n－1，k＝1；(2)bn＝

【解析】试题分析：(1)先直接写出a1，a2，由d＝2求出k，再利用数列中an与Sn之间的关系求出an；(2)先利用叠加法求出bn满足的关系式，再利用错位相减法求出bn.

试题解析：(Ⅰ)由题设得a1＝S1＝2k－1，

a2＝S2－S1＝4k－1，

由a2－a1＝2得k＝1，

则a1＝1，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 4分

(Ⅱ)bn＝bn－1＋n·＝bn－2＋(n－1)·＋n·

＝b1＋2×＋3×＋ ＋(n－1)·＋n·

由(Ⅰ)知＝22n－1，又因为b1＝2，所以

bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋ ＋(b2－b1)＋b1

＝1×21＋2×23＋3×25＋ ＋(n－1)×22n－3＋n×22n－1，

4bn＝1×23＋2×25＋3×27＋ ＋(n－1)×22n－1＋n×22n＋1， 7分

所以－3bn＝21＋23＋25＋ ＋22n－1－n·22n＋1＝－2n·?4n，

所以bn＝＋n?4n＝. 11分

明显，n＝1时，也成立．

综上所述，bn＝． 12分

考点:等差数列与等比数列的通项公式与前n项和