Question

11．函数$y=\frac{{{x^2}-x+n}}{{{x^2}+1}}（n∈{N^*}，且y≠1）$的最大值为a_n，最小值为b_n，且${c_n}=4（{a_n}•{b_n}-\frac{1}{2}）$．
（1）求函数{c_n}的通项公式；
（2）若数列{d_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+d_n=1．设数列{c_n•d_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜5．

Answer 1

分析 （1）把已知函数解析式变形为关于x的一元二次方程，由方程有根可得判别式大于等于0，进一步得到a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，利用根与系数的关系求得a_nb_n，代入${c_n}=4（{a_n}•{b_n}-\frac{1}{2}）$可得函数{c_n}的通项公式；
（2）由S_n+d_n=1，得S_n+1+d_n+1=1，作差可得数列{d_n}成等比数列，公比$q=\frac{1}{2}$，然后利用错位相减法求数列{c_n•d_n}的前n项和为T_n，放缩可得T_n＜5．

解答 （1）解：由$y=\frac{{{x^2}-x+n}}{{{x^2}+1}}（n∈{N^*}，且y≠1）$，得（y-1）•x²+x+y-n=0，
∵x∈R，且y≠1，∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，
化简得：4y²-4（1+n）y+4n-1≤0．
由题意可知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，
∴${a_n}•{b_n}=n-\frac{1}{4}$，
∴${c_n}=4（{a_n}•{b_n}-\frac{1}{2}）=4n-3$；
（2）证明：由S_n+d_n=1…①
得：S_n+1+d_n+1=1…②
由②-①，得：${d_{n+1}}=\frac{1}{2}{d_n}$
∴数列{d_n}成等比数列，公比$q=\frac{1}{2}$，又由①，令n=1，得${d_1}=\frac{1}{2}$，
∴${d_n}=\frac{1}{2}•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^n}$，
∴${c_n}•{d_n}=\frac{4n-3}{2^n}$．
∴${T_n}=1×{（\frac{1}{2}）^1}+5×{（\frac{1}{2}）^2}+…+（4n-3）×{（\frac{1}{2}）^n}$…③
$\frac{1}{2}{T_n}=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1×{（\frac{1}{2}）^2}+5×{（\frac{1}{2}）^3}+…+（4n-7）×{（\frac{1}{2}）^n}+（4n-3）×{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$…④
由③-④得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+4[{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+…+{（\frac{1}{2}）^n}]-（4n-3）×{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$，
化简得：${T_n}=5-\frac{4n+5}{2^n}＜5$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．