Question

2．如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）已知PE=$\sqrt{6}$，求A到平面PED的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AE，证明DE⊥AE，结合DE⊥PA得出DE⊥平面PAE，故DE⊥PE；
（2）利用V_P-ADE=V_A-PDE，列方程求出A到平面PED的距离．

解答 （1）证明：连接AE，
∵在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，
∴BE=EC=1，∴△ABE与△ECD为等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AED=90°，即DE⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴PA⊥DE，又AE∩PA=A，
∴DE⊥平面PAE，∵PE?平面PAE，
∴DE⊥PE．
（2）解：∵PE=$\sqrt{6}$，AE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，∴PA=$\sqrt{P{E}^{2}-A{E}^{2}}$=2，
∴V_P-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$=$\frac{2}{3}$，
又S_△PDE=$\frac{1}{2}×DE×PE$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$，
设A到平面PED的距离为h，则V_A-PDE=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}h$=$\frac{\sqrt{3}h}{3}$，
∵V_P-ADE=V_A-PDE，
∴$\frac{\sqrt{3}h}{3}$=$\frac{2}{3}$，解得h=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，点到平面的距离计算，棱锥的体积计算，属于中档题．