已知底面为边长为2的正方形.侧棱长为1的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.P是面A1B1C1D1上的动点．给出以下四个结论中.正确的个数是( )①与点D距离为$\sqrt{3}$的点P形成一条曲线.则该曲线的长度是$\frac{π}{2}$,②若DP∥面ACB1.则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是$[{\frac{{\sqrt{6}}}{3}.+∞})$,③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是面A₁B₁C₁D₁上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（　　）
①与点D距离为$\sqrt{3}$的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是$\frac{π}{2}$；
②若DP∥面ACB₁，则DP与面ACC₁A₁所成角的正切值取值范围是$[{\frac{{\sqrt{6}}}{3}，+∞}）$；
③若$DP=\sqrt{3}$，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为$6\sqrt{2}$．

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

分析 ①与点D距离为$\sqrt{3}$的点P形成以D₁为圆心，半径为$\sqrt{2}$的$\frac{1}{4}$圆弧MN，利用弧长公式，可得结论；
②当P在A₁（或C₁）时，DP与面ACC₁A₁所成角∠DA₁O（或∠DC₁O）的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$最小，当P在O₁时，DP与面ACC₁A₁所成角∠DO₁O的正切值为$\sqrt{2}$最大，可得正切值取值范围是$[{\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{2}}]$；
③设P（x，y，1），则x²+y²+1=3，即x²+y²=2，可得DP在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．

解答解：如图，①错误，与点D距离为$\sqrt{3}$的点P形成以D₁为圆心，半径为$\sqrt{2}$的$\frac{1}{4}$圆弧MN，长度为$\frac{1}{4}•2π•\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}π$；
②错误，因为面A₁DC₁∥面ACB₁，所以点P必须在面对角线A₁C₁上运动，当P在A₁（或C₁）时，DP与面ACC₁A₁所成角∠DA₁O（或∠DC₁O）的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$最小，当P在O₁时，DP与面ACC₁A₁所成角∠DO₁O的正切值为$\sqrt{2}$最大，所以正切值取值范围是$[{\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{2}}]$；
③正确，设P（x，y，1），则x²+y²+1=3，即x²+y²=2，DP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为$\sqrt{{y^2}+1}，\sqrt{{x^2}+1}，\sqrt{{x^2}+{y^2}}$，所以六个面上的正投影长度之和为$2（\sqrt{{y^2}+1}+\sqrt{{x^2}+1}+\sqrt{2}）≤2（2\sqrt{\frac{{{y^2}+1+{x^2}+1}}{2}}+\sqrt{2}）=6\sqrt{2}$，当且仅当P在O₁时取等号．
故选B．

点评本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，难度较大．

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（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	合计
捐款超过500元	30
损款不超过500元		6
合计

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：临界值参考公式：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．