Question

3．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在$x=-\frac{2}{3}$与x=1时都取得极值
（1）求函数y=f（x）在点M（-1，f（-1））处的切线方程
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²+2ax+b，利用$x=-\frac{2}{3}$与x=1时都取得极值，求出a，b，然后求解斜率以及切点坐标，锐角切线方程．
（2）利用（1）的结论，推出f（x）＜c²，x∈[-1，2]恒成立，转化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b
由${f^'}（-\frac{2}{3}）=\frac{12}{9}-\frac{4}{3}a+b=0$，f′（1）=3+2a+b=0得$a=-\frac{1}{2}，b=-2$
则k=f'（-1）=2，切线方程为：$y-（\frac{1}{2}+c）=2（x+1）$即$2x-y+\frac{5}{2}+c=0$
（2）$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+c，x∈[-1，2]$，
当$x=-\frac{2}{3}$时，$f（-\frac{2}{3}）=\frac{22}{27}+c$为极大值，而f（2）=2+c，则f（2）=2+c为最大值，
要使f（x）＜c²，x∈[-1，2]恒成立，
则只需要c²＞f（2）=2+c，
得c＜-1，或c＞2．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的关系，考查转化思想，以及分析问题解决问题的能力．