Question

16．已知命题p：?x∈R，使2$\sqrt{3}$sinx+2cosx＞m成立，命题q：?x∈R，x²+mx+1＞0恒成立，若有p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：命题p：?x∈R，使2$\sqrt{3}$sinx+2cosx＞m成立，
即?x∈R，使得4sin（x+$\frac{π}{6}$）＞m成立，
故p为真时，m＜4；
又命题q：?x∈R，x²+mx+1＞0恒成立，
∴q为真时，m²-4＜0，
∴-2＜m＜2；
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴命题p、q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜4}\\{m≥2或m≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，
解得：2≤m＜4或m≤-2．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查存在量词与全称量词的应用，考查复合命题的判断，属于中档题．