Question

11．已知抛物线C₁：y²=8x的焦点F到双曲线C₂：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1，（{a＞0，b＞0}）$的渐近线的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，P是抛物线C₁的一动点，P到双曲线C₂的上焦点F₁（0，c）的距离与到直线x+2=0的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3}=1$
• B． ${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$
• D． $\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{2}=1$

Answer 1

分析 由抛物线的焦点F（2，0）到双曲线渐近线ax-by=0的距离$\frac{丨2a丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，2b=a，由丨FF₁丨=3，c²+4=9，c²=a²+b²，a=2b，即可求得a和b，求得双曲线的方程．

解答 解：抛物线C₁：y²=8x的焦点F（2，0），双曲线C₂：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1，（{a＞0，b＞0}）$一条渐近线的方程为ax-by=0，
∵抛物线y²=8x的焦点F到双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1，（{a＞0，b＞0}）$渐近线的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
$\frac{丨2a丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴2b=a，
∵P到双曲线C的上焦点F₁（0，c）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，
∴丨FF₁丨=3，
∴c²+4=9，
∴c=$\sqrt{5}$，
∵c²=a²+b²，a=2b，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$；
故选C．

点评 本题考查抛物线及双曲线的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题．