Question

13．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|$\frac{1}{2}$＜x+1≤2}（a≠0）
（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值；若不能，试说明理由；
（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分a＞0和a＜0两种情况讨论是否存在满足条件的实数a的值，综合讨论结果，可得答案；
（2）若p是q充分不必要条件，则A?B，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：（1）解$\frac{1}{2}$＜x+1≤2得：-$\frac{1}{2}$＜x≤1，
故B={x∈R|-$\frac{1}{2}$＜x≤1}，
当a＞0时，集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}={x∈R|-$\frac{1}{a}$＜x≤$\frac{4}{a}$}，
此时方程组$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}\\ \frac{4}{a}=1\end{array}\right.$无解，
当a＜0时，集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}={x∈R|$\frac{4}{a}$≤x＜-$\frac{1}{a}$}，
不可能有A=B，
综上，不存在满足条件的a值；
（2）若p是q充分不必要条件，则A?B，
当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{a}≥-\frac{1}{2}\\ \frac{4}{a}≤1\end{array}\right.$，解得：a≥4；
当a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{a}≤1\end{array}\right.$解得：a＜-8
综上可得：a＜-8，或a≥4

点评 本题考查的知识点是集合相等，充要条件，分类讨论思想，难度中档．