Question

13．设函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

Answer 1

分析 对第（Ⅰ）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；
对第（Ⅱ）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）”，展开后利用基本不等式可完成证明．

解答 解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4-|x-1|即为|x-2|≥4-|x-1|，
①当x≤1时，原不等式化为2-x≥4+（x-1），得x≤-$\frac{1}{2}$，
故x≤-$\frac{1}{2}$；
②当1＜x＜2时，原不等式化为2-x≥4-（x-1），得2≥5，
故1＜x＜2不是原不等式的解；
③当x≥2时，原不等式化为x-2≥4-（x-1），得x≥$\frac{7}{2}$，
故x≥$\frac{7}{2}$．
综合①、②、③知，原不等式的解集为（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{7}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a=0}\\{1+a=2}\end{array}\right.$，得a=1，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a=1．
又m＞0，n＞0，
∴m+2n=（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）
=2+（$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$）≥2+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}$=4，
当且仅当$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{2n}$即m=2n时，等号成立，
此时，联立$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=1，得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=1}\end{array}\right.$时，m+2n=4，
故m+2n≥4，得证．

点评 1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．
2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．