Question

16．若实数x，y满足x-y+xy≥2，则|x+y|的最小值是2．

Answer 1

分析 作出曲线（x-1）（y+1）=1的图象的图象，由题意可得|x+y|即为曲线上任一点到直线x+y=0的距离的$\sqrt{2}$倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x+y=0平行的直线距离的$\sqrt{2}$倍，求出函数的导数，求出切线的斜率，求得切点，代入即可得到所求最小值．

解答 解：实数x，y满足x-y+xy≥2，
即为（x-1）（y+1）≥1，
作出曲线（x-1）（y+1）=1的图象，
由题意可得|x+y|即为曲线上任一点到直线x+y=0的距离的$\sqrt{2}$倍的最小值．
可得与曲线相切，且与直线x+y=0平行的直线距离的$\sqrt{2}$倍
设切点为（m，n），
由y=$\frac{1}{x-1}$-1的导数为y′=-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
即有切线的斜率为-$\frac{1}{（m-1）^{2}}$=-1，
解得m=2，或m=0（舍去）
切点为（2，0），
则|x+y|的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查最值的求法，注意运用导数求得切点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．