Question

15．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），求a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在x₀∈R，使f（x₀）≤t-f（-x₀），求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得不等式f（x）＜6的解集为a-3≤x≤3，再根据不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），可得a-3=-1，由此求得a的范围；
（2）令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|2x-a|+a，
不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），
∴|2x-a|＜6-a 的解集为（-1，3），
由|2x-a|＜6-a，可得a-6＜2x+a＜6-a，求得a-3≤x≤3，
故有a-3=-1，a=2．
（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x-2|+2，
令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4=$\left\{\begin{array}{l}{4-4x，x≤-1}\\{8，-1＜x＜1}\\{4+4x，x≥1}\end{array}\right.$，
故g（x）的最小值为8，
故使f（x）≤t-f（-x）有解的实数t的范围为[8，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的最小值，函数的能成立问题，属于中档题．