Question

7．函数f（x）=（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$+2）（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1）的值域是[$\sqrt{2}$+2，8]．

Answer 1

分析 确定函数定义域，利用换元法，结合函数的单调性，可得函数的值域．

解答 解：函数定义域x∈[-1，1]，令$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$=u，
因为x∈[-1，1]，所以2≤u²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤4，所以$\sqrt{2}$≤u≤2，
y=$\frac{{u}^{3}}{2}+{u}^{2}$，所以y′=$\frac{3}{2}{u}^{2}+2u$在[$\sqrt{2}$，2]上单调递增，
因为u=$\sqrt{2}$时，y=$\sqrt{2}$+2，u=2时，y=8
所以该函数值域为[$\sqrt{2}$+2，8]．
故答案为：[$\sqrt{2}$+2，8]．

点评 本题考查函数的值域，考查函数的单调性，正确换元是关键．