Question

17．已知函数$f（x）=\frac{{{{ln}^2}x+lnx+1}}{x}$，$g（x）=\frac{x^2}{e^x}$．
（1）分别求函数f（x）与g（x）在区间（0，e）上的极值；
（2）求证：对任意x＞0，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求导，利用导数与函数的单调性及极值关系，即可求得f（x）及g（x）单调区间及极值；
（2）当x∈（0，e）时f（x）≥1，$g（x）≤\frac{4}{e^2}＜1$，f（x）＞g（x）；x∈[e，+∞）时$h（x）=\frac{x^3}{e^x}$，则$h'（x）=\frac{{{x^2}（3-x）}}{e^x}$，由函数的单调性ln²x+lnx+1＞h（x），即可求得f（x）＞g（x）．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{-lnx（lnx-1）}{x^2}$，
令f'（x）＞0，解得：1＜x＜e，f'（x）＜0，解得：0＜x＜1或x＞e，
故f（x）在（0，1）和（e，+∞）上单调递减，
在（1，e）上递增，
∴f（x）在（0，e）上有极小值f（1）=1，无极大值；
$g'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}$，g'（x）＞0，则0＜x＜2，
故g（x）在（0，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
∴g（x）在（0，e）上有极大值，$g（2）=\frac{4}{e^2}$，无极小值；
（2）由（1）知，当x∈（0，e）时，f（x）≥1，$g（x）≤\frac{4}{e^2}＜1$，
故f（x）＞g（x）；
当x∈[e，+∞）时，ln²x+lnx+1≥1+1+1=3，
令$h（x）=\frac{x^3}{e^x}$，则$h'（x）=\frac{{{x^2}（3-x）}}{e^x}$，
故h（x）在[e，3]上递增，在（3，+∞）上递减，
∴$h（x）≤h（3）=\frac{27}{e^3}＜\frac{27}{{{{2.7}^3}}}＜3$，ln²x+lnx+1＞h（x）；
综上，对任意x＞0，f（x）＞g（x）．

点评 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性及极值关系，考查利用导数求函数的极值，考查转化思想，属于中档题．