Question

3．当x∈R时，（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立，则实数a的取值范围为[1，9]．

Answer 1

分析 分a²-1=0和a²-1≠0求解，当a²-1≠0时，需$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=（a-1）^{2}-4（{a}^{2}-1）•\frac{2}{a+1}≤0}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 解：（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立．
当a²-1=0时，a=±1，当a=1时，不等式恒成立，当a=-1时，无意义；
当a²-1≠0时，要使 （a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立，则
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=（a-1）^{2}-4（{a}^{2}-1）•\frac{2}{a+1}≤0}\end{array}\right.$，解得a∈（1，9]．
综上所述：a∈[1，9]．
故答案为：[1，9]．

点评 本题考查恒成立问题的求解方法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．