Question

如图所示，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁和A₁C₁中点，若BC=CA=CC₁，求BD₁和AF₁成角余弦值．

Answer 1

分析：连接D₁F₁，取BC中点M可得四边形BMF₁D₁平行四边形，把问题转化为F₁A与F₁M成锐角或直角是异面直线BD₁和AF₁成角，最后求出三角形的边长即可得到结论．

解答：解：连接D₁F₁，取BC中点M，四边形BMF₁D₁平行四边形，
所以：MF₁∥BD₁，
故F₁A与F₁M成锐角或直角是异面直线BD₁和AF₁成角．
设BC=CA=C₁C=1，则AM=

5

2

，MF₁=

6

2

，AF₁=

5

4

，
所以：cos∠MF₁A=

AF 1 2+MF 1 2-AM 2

2•AF 1•MF 1

=

30

10

．
即BD₁和AF₁成角余弦值为

30

10

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧．如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．