Question

14．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₂+a₃=6，a₁a₄=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{a_1}{b_1}$+$\frac{a_2}{b_2}$+…+$\frac{a_n}{b_n}$=2ⁿ•（n²+n+2）（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式及其性质，即可得出．
（2）利用递推关系即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₂+a₃=6，a₁a₄=8=a₂a₃．a₂＜a₃．
解得a₂=2，a₃=4，
∴q=$\frac{4}{2}$=2，a_n=2×2^n-2=2^n-1．
（2）由$\frac{a_1}{b_1}$+$\frac{a_2}{b_2}$+…+$\frac{a_n}{b_n}$=2ⁿ•（n²+n+2）（n∈N^*），
∴n=1时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=2×4，解得b₁=$\frac{1}{8}$．
n≥2时，$\frac{a_1}{b_1}$+$\frac{a_2}{b_2}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=2^n-1•[（n-1）²+（n-1）+2]，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=2ⁿ•（n²+n+2）-2^n-1•[（n-1）²+（n-1）+2]=2^n-1（n²+3n+2），
∴b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}，n=1}\\{\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}，n≥2}\end{array}\right.$..

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．