Question

15．已知抛物线x²=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．
（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；
（2）设直线AC的斜率为k_AC，直线BD的斜率为k_BD，且k_AC+4k_BD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点．

Answer 1

分析 （1）求出M，N的坐标，可得S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|FN|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k^2}+{k^4}}\sqrt{\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2+{k^2}+\frac{1}{k^2}}$，利用基本不等式求△FMN面积的最小值；
（2）利用k_AC+4k_BD=0，得出x₁x₃=4，可得直线AC的方程，即可得出结论．

解答 （1）解：（1）抛物线的方程为x²=2y，设AB的方程为y=kx+$\frac{1}{2}$
联立抛物线方程，得x²-2kx-1=0，$M（{k，{k^2}+\frac{1}{2}}）$，同理$N（{-\frac{1}{k}，\frac{1}{k^2}+\frac{1}{2}}）$
∴S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|FN|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k^2}+{k^4}}\sqrt{\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2+{k^2}+\frac{1}{k^2}}$≥1
当且仅当k=±1时，△FMN的面积取最小值1．…（5分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
设AB的方程为y=kx+$\frac{1}{2}$，联立抛物线方程，得x²-2kx-1=0，∴x₁x₂=-1，
同理，x₃x₄=-1 …（7分）
故k_AC+4k_BD=$\frac{{{y_1}-{y_3}}}{{{x_1}-{x_3}}}+4•\frac{{{y_2}-{y_4}}}{{{x_2}-{x_4}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{x_1^2-x_3^2}）}}{{{x_1}-{x_3}}}+4•\frac{{\frac{1}{2}（{x_2^2-x_4^2}）}}{{{x_2}-{x_4}}}$
=$\frac{1}{2}（{{x_1}+{x_3}}）+2•（{{x_2}+{x_4}}）$=$\frac{1}{2}（{{x_1}+{x_3}}）-2•（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_3}}）=（{{x_1}+{x_3}}）（{\frac{1}{2}-\frac{1}{{{x_1}{x_3}}}}）=0$
注意到点A、C在第一象限，x₁+x₃≠0，故得x₁x₃=4，…（10分）
直线AC的方程为$y-\frac{{{x_1}^2}}{2}=\frac{{{x_1}+{x_3}}}{2}（{x-{x_1}}）$，
化简得$y=\frac{{{x_1}+{x_3}}}{2}x-\frac{{{x_1}{x_3}}}{2}$即$y=\frac{{{x_1}+{x_3}}}{2}x-2$
所以，直线AC恒经过点（0，-2）…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形的面积的计算，考查直线过定点问题，属于中档题．