Question

求直线x=1，x=2，y=0与曲线y=x²+2x+1围成曲边梯形的面积．（要求：用分割，近似代替，求和，取极限等方法解答）

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：利用以“直”代“曲”无限逼近的方法求曲边梯形的面积的步骤的四部曲即可得出．

解答： 解：（1）分割：
将区间[1，2]分为n等份，得到n个小的曲边梯形，曲边梯形的长为

1

n

，高是（1+

i

n

）²+2×

i

n

+1，
（2）近似代替：
利用小矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，S≈

1

n

•[(1+

i

n

)2+

2i

n

+1]，
（3）求和：
所以曲边梯形的面积为

n

i=1

[

1

n

•((1+

i

n

)2+

2i

n

+1)]；
（4）取极限：S=

lim

n→∞

n

i=1

[

1

n

•((1+

i

n

)2+

2i

n

+1)]=6

1

3

．

点评：本题考查了以“直”代“曲”无限逼近的方法求曲边梯形的面积的步骤的四部曲，属于基础题．