Question

7．如图．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为梯形．PA⊥底面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=60°，AD∥BC，AC⊥CD．E为PD中点．
（I）求证：CE∥平面PAB；
（II）若PB与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$，求平面PAB与平面PCD所成的锐角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取AP得中点F，利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理即可证明CE∥平面PAB；
（II）建立空间坐标系，求出平面的法向量，结合PB与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$，先求出高PA的值，利用向量法建立方程进行求解．

解答 （Ⅰ）  取AP得中点F，连接EF、BF，因为AB=BC=2，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，∴AC=2，
又   AD∥BC，∴∠DAC=60°，
又∵AC⊥CD，∴AD=$\frac{AC}{cos∠DAC}=4$，
又∵E、F分别为PD、PA的中点，
∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
又AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴四边形EFBC为平行四边形，
∴FB∥EC，
又FB?平面PAB，CE?平面PAB
∴CE∥平面PAB． 

 
（Ⅱ）分取BC中点为S，由（1）可得，于是AS⊥AD，
则AS，AD，AP两两垂直，
如图，以AS为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，0，4），
设P（0，0，h），
设直线PB与平面PAC所成的角为θ，
则 sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{DC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，得h=2，
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$，易得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，0），
同理可得平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$，易得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
平面PAB与平面PCD所成的角为α，
则cosα=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．