Question

17．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，过点F₂且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点F₂的直线l与椭圆相交于A，B两点，若M（-6，0），求当三角形MAB的面积S最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据离心率和通径的值列方程组求解得基本量a，b．
（2）巧设方程，避免分类讨论．联立直线和椭圆方程，根据韦达定理得出三角形面积的表达式，并根据基本不等式求得面积最大值，及取面积最大值时的直线斜率，再写出直线方程．

解答 解：（1）由题可知$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}\\{\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}\end{array}}\right.$．解得$a=\sqrt{5}，c=2$
所以b=1，所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$…（4分）
（2）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，
则点M到直线l的距离$d=\frac{8}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$   得（m²+5）y²+4my-1=0．
设l与E的两个交点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则y₁+y₂=$-\frac{4m}{{m}^{2}+5}$，y₁y₂=$-\frac{1}{{m}^{2}+5}$．
于是AB=$\sqrt{（1+{m}^{2}）}|{y}_{1}-{y}_{2}|$
=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[\frac{16{m}^{2}}{（{m}^{2}+5）^{2}}+\frac{4}{{m}^{2}+5}]}$
=$\frac{2\sqrt{5}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+5}$．
从而S=$\frac{8\sqrt{5}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+5}$
令$t=\sqrt{{m}^{2}+1}$（t≥1）则m²=t²-1
S=$\frac{8\sqrt{5}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{8\sqrt{5}}{t+\frac{4}{t}}$$≤\frac{8\sqrt{5}}{4}$=2$\sqrt{5}$．
当且仅当$t=\frac{4}{t}$即 $\sqrt{m2+1}$=$\frac{4}{\sqrt{m2+1}}$，即m=±$\sqrt{3}$时，等号成立．
故当m=±$\sqrt{3}$时，S最大，
此时，直线l的方程为x=$\sqrt{3}$y+2或x=-$\sqrt{3}$y+2，即x-$\sqrt{3}$y-2=0或x+$\sqrt{3}$y-2=0．…（12分）

点评 考查了椭圆基本性质，直线与椭圆位置关系，圆锥曲线中三角形面积的求解方法，基本不等式求最值．考查了方程思想，换元法，整体代换．思路不难找，有一定运算量，属于圆锥曲线的中档题．