Question

14．如图，在三棱锥D-ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E是DC的中点，则AC与BE所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{16}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 取AB中点O，以O为原点，过O作BC的平行线为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与BE所成角的余弦值．

解答 解：取AB中点O，连结OD，
∵在三棱锥D-ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，
DA=AB=DB=BC，
∴OD⊥平面ABC，
以O为原点，过O作BC的平行线为x轴，OB为y轴，OD为z轴，
建立空间直角坐标系，
设DA=AB=DB=BC=2，又E是DC的中点，
∴A（0，-1，0），C（2，1，0），B（0，1，0），
D（0，0，$\sqrt{3}$），E（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设AC与BE所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4}$．
∴AC与BE所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．