Question

18．设方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=\sqrt{3}+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）表示曲线C．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程，并说明它的轨迹；
（Ⅱ）求曲线C上的动点到坐标原点距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数得曲线C的普遍方程，即可说明它的轨迹；
（Ⅱ）设圆上的动点P（1+cosθ，$\sqrt{3}$+sinθ）（0≤θ＜2π），利用两点间的距离公式求曲线C上的动点到坐标原点距离的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=\sqrt{3}+sinθ}\end{array}\right.$，消去参数得曲线C的普遍方程是（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）=1．
它表示以（1，$\sqrt{3}$）为圆心，1为半径的圆…（5分）
（Ⅱ）设圆上的动点P（1+cosθ，$\sqrt{3}$+sinθ）（0≤θ＜2π）
则|OP|=$\sqrt{（1+cosθ）^{2}+（\sqrt{3}+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{5+4cos（θ-\frac{π}{3}）}$
∴当$θ=\frac{4π}{3}$时，|OP|_min=1…（10分）

点评 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题．