Question

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.

(1) 求的值；

(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）

(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.

 

 

Answer 1

（1）0.03；（2）24.6；（3）分布列详见解析，.

【解析】

试题分析：本题主要考查频率分布直方图、由样本估计总体求平均值、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，利用频率分布直方图中长方形的高=频率/组距，而所有频率之和为1，来计算a的值；第二问，根据样本数据，估计总体的平均值的计算公式为：频率分布直方图中，每一个长方形的中点×高×组距，得到的数据之和即为平均值；第三问，利用频率分布直方图先得到内的频率，即“特优等级”的概率值，通过分析题意可知随机变量服从二项分布，利用计算出每一种情况的概率，再利用计算出数学期望.

试题解析：(1) 由题意，得， 1分

解得. 2分

（2）个样本中空气质量指数的平均值为

3分

由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分

（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，

且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分

的取值为， 6分

，，

，. 10分

∴的分布列为：

11分

∴. 12分

（或者）

考点：频率分布直方图、由样本估计总体求平均值、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望.