Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=3b_n-2λ•$\frac{{a}_{n}}{3}$（λ∈R），若数列{c_n}是递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{q+（6+d）=12}\\{6+d={q}^{2}}\end{array}\right.$，解得d，q即可得出．
（2）由（1）可知c_n=3ⁿ-2λn，由数列{c_n}是递增数列，可知c_n＜c_n+1恒成立，代入化简即可得出．

解答 解：（1）设公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{q+（6+d）=12}\\{6+d={q}^{2}}\end{array}\right.$，解得d=q=3，
所以a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知c_n=3ⁿ-2λn，
由数列{c_n}是递增数列，可知c_n＜c_n+1恒成立，
即3ⁿ-2λn＜3ⁿ⁺¹-2λ（n+1）恒成立，即λ＜3ⁿ恒成立，
显然，数列{3ⁿ}是递增数列，
∴当n=1时，3ⁿ取最小值3，
所以λ＜3．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．