Question

17．已知f（x）=|ax-1|（x∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
（1）求a的值；
（2）若f（x）-2f（${\frac{x}{2}}$）＞$\frac{-a}{x^2}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k的解集非空，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法，结合不等式的解集建立方程关系进行求解即可．
（2）利用参数分离法转化为存在x使得|2x+1|-2|x+1|＞$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k成立，利用基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：（1）由f（x）≤3得|ax-1|≤3，得-3≤ax-1≤3，
即-2≤ax≤4，
若a＞0，则不等式等价为-$\frac{2}{a}$≤x≤$\frac{4}{a}$，
∵f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{a}=-2}\\{\frac{4}{a}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{a=4}\end{array}\right.$此时，无解，
若a＜0，则不等式等价为$\frac{4}{a}$≤x≤-$\frac{2}{a}$，
则此时$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{a}=-2}\\{-\frac{2}{a}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{a=-2}\end{array}\right.$，此时a=-2．
（2）f（x）-2f（${\frac{x}{2}}$）=|2x+1|-2|x+1|＞$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k的解集非空，
则存在x使得|2x+1|-2|x+1|＞$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k成立，
由|2x+1|-2|x+1|≤1当且仅当x≤-1时等号成立，
且$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k≥2$\sqrt{k}$+k，当x²=$\frac{2}{\sqrt{k}}$时，等号成立，
则需要1＞2$\sqrt{k}$+k，得$\sqrt{2}-1＞\sqrt{k}$，
此时x=-$\sqrt{\frac{2}{\sqrt{k}}}$＜$\sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}-1}}$＜-1，满足等号条件，
∴k＜3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的应用，以及基本不等式的求解，利用参数分离法进行转化是解决本题的关键．