Question

4．（1+x-2x²）⁵的展开式中x⁴项的系数为-15．

Answer 1

分析 由（1+x-2x²）⁵=[1+x（1-2x）]⁵，利用二项式展开式的通项公式，即可求出（1+x-2x²）⁵的展开式中x⁴项的系数．

解答 解：因为（1+x-2x²）⁵=[1+x（1-2x）]⁵，
其展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•[x（1-2x）]^r=${C}_{5}^{r}$•x^r•[$\sum_{k=0}^{r}$${C}_{r}^{k}$•（-2x）^k]=${C}_{5}^{r}$•[$\sum_{k=0}^{r}$${C}_{r}^{k}$•（-2）^k•x^k+r]；
令k+r=4，且0≤r≤5，0≤k≤r，k、r∈N，
则$\left\{\begin{array}{l}{r=4}\\{k=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=3}\\{k=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{k=2}\end{array}\right.$；
所以（1+x-2x²）⁵的展开式中x⁴项的系数为：
${C}_{5}^{4}$•${C}_{4}^{0}$+${C}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{1}$•（-2）+${C}_{5}^{2}$•${C}_{2}^{2}$•（-2）²=-15．
故答案为：-15．

点评 本题考查了二项式展开式定理的应用问题，解题时应用展开式的通项公式求特定项的系数，是基础题目．