Question

18．已知椭圆C的中心是坐标原点，直线$\sqrt{3}x-2y-4\sqrt{3}=0$过它的两个顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A（-4，0），过R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连接AP，AQ，分别交直线$x=\frac{16}{3}$于M，N两点，试问直线MR，NR的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别求得与坐标轴的交点，求得椭圆焦点在x轴上，求得椭圆的方程；
（2）求得直线方程，代入椭圆方程，由分别求得M和N点坐标，根据直线的斜率公式即可求得直线MR，NR的斜率之积为定值．

解答 解：（1）由直线$\sqrt{3}x-2y-4\sqrt{3}=0$过它的两个顶点，当x=0，y=-2$\sqrt{3}$，当y=0，x=4，
则椭圆的焦点在x轴上，a=4，b=2$\sqrt{3}$，
椭圆C的标准方程：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；…（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由于PQ与x轴不重合，
不妨设直线PQ：x=my+3，
联立直线与曲线方程可得（3m²+4）y²+18my-21=0，
则有${y_1}+{y_2}=\frac{-18m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}•{y_2}=\frac{-21}{{3{m^2}+4}}$，
∵A，M，P三点共线，
∴$\frac{y_M}{{\frac{16}{3}+4}}=\frac{y_1}{{{x_1}+4}}$，则${y_M}=\frac{28}{3}\frac{y_1}{{{x_1}+4}}$，
同理${y_N}=\frac{28}{3}\frac{y_2}{{{x_2}+4}}$，
∴${k_{MR}}•{k_{NR}}=\frac{y_M}{{\frac{16}{3}-3}}•\frac{y_N}{{\frac{16}{3}-3}}=\frac{{9{y_M}•{y_N}}}{49}=\frac{{16{y_1}{y_2}}}{{（{{x_1}+4}）（{{x_2}+4}）}}=-\frac{12}{7}$，
直线MR，NR的斜率之积是定值-$\frac{12}{7}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．