Question

5．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$，x∈（0，+∞）．
（I）当a=1时，试用函数单调性的定义，判断函数f（x）的单调性；
（II）若x∈[3，+∞），关于x不等式x+$\frac{1}{x}$≥|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，利用函数单调性的定义进行证明判断即可．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论得到当x∈[3，+∞），f（x）=x+$\frac{1}{x}$的最小值为f（3）=$\frac{10}{3}$，然后将不等式恒成立进行转化，结合绝对值不等式的解法进行求解即可．

解答 （I）解：当a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
当x＞0时，任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$=（x₂-x₁）+$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$ ），
要确定此式的正负只要确定1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$ 的正负即可．
①当x₁、x₂∈（0，1）时，1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，为减函数，
②当x₁、x₂∈（1，+∞）时，1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，为增函数．
即函数f（x）的单调递增区间为为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（II）若x∈[3，+∞），由（Ⅰ）知，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$的最小值为f（3）=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，
于是不等式x+$\frac{1}{x}$≥|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|恒成立等价为$\frac{10}{3}$≥|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|恒成立
∵|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|≥|$\frac{5}{3}$-m+m+$\frac{5}{3}$|=$\frac{10}{3}$，
∴|m-$\frac{5}{3}$|+|m+$\frac{5}{3}$|=$\frac{10}{3}$，此-$\frac{5}{3}$≤m≤$\frac{5}{3}$，
即实数m的取值范围是[-$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$]．

点评 本题主要考查对勾函数的单调性的判断，以及不等式恒成立问题，根据条件转化为绝对值不等式是解决本题的关键．考查学生的转化能力，综合性较强，有一定的难度．