Question

设函数f（x）=x²+（2a+1）x+a²+3a
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值为0，求实数a的值；
（II）若f（x）在区间[α，β]上单调，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分别讨论当-

2a+1

2

≤1，当-

2a+1

2

＞1的情况，从而求出a的值；
（2）通过讨论若f（x）在[α，β]上递增，若f（x）在[α，β]上递减的情况，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）当-

2a+1

2

≤1，即a≥-

3

2

时，
f（x）_max=f（2）=a²+7a+6=0，解得：a=-6（舍）或a=-1，
当-

2a+1

2

＞1，即a＜-

3

2

时，
f（x）_max=f（0）=a²+3a=0，解得：a=0（舍）或a=-3，
综上a=-1或a=-3；
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上递增，则满足：
①-

2a+1

2

≤α；②

f(α)=α f(β)=β

，
即方程f（x）=x在[-

2a+1

2

，+∞）上有两个不相等的实根．
方程可化为x²+2ax+a²+3a=0，设g（x）=x²+2ax+a²+3a，
则

- 2a+1 2 ＜-a △＞0 g(- 2a+1 2 )≥0

，解得：-

1

12

≤a＜0．
若f（x）在[α，β]上递减，则满足：
①-

2a+1

2

≥β；②

f(α)=β f(β)=α

．
由

α2+(2a+1)α+a2+3a=β β2+(2a+1)β+a2+3a=α

得，两式相减得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α，即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α²+（2a+1）α+a²+3a=-α-2a-2，即α²+（2a+2）α+a²+5a+2=0．
同理：β²+（2a+2）β+a²+5a+2=0，
即方程x²+（2a+2）x+a²+5a+2=0在（-∞，-

2a+1

2

]上有两个不相等的实根，
设h（x）=x²+（2a+2）x++a²+5a+2，
则

- 2a+1 2 ＞-a-1 △＞0 h(- 2a+1 2 )≥0

，解得：-

5

12

≤a＜-

1

3

，
综上所述：a∈[-

5

12

，-

1

3

）∪[-

1

12

，0）．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查了分类讨论思想，是一道中档题．