Question

15．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（其中φ是实数），若$f（x）≤|{f（\frac{π}{6}）}|$对x∈R恒成立，且$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． $[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（k∈Z）$
• B． [kπ，kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）
• C． $[{kπ-\frac{π}{2}，kπ}]（k∈Z）$
• D． $[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（k∈Z）$

Answer 1

分析 求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ，由此得到单调区间．

解答 解：由题意得
$f（\frac{π}{6}）=±1⇒sin（\frac{π}{3}+ϕ）=±1⇒\frac{π}{3}+ϕ=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）⇒ϕ=\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$
∵f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），
∴sin（π+φ）＞sinφ，
∴sinφ＜0，
因此$ϕ=\frac{7π}{6}+2mπ（m∈Z）$，
从而$f（x）=sin（{2x+ϕ}）=sin（{2x+\frac{7π}{6}}）$，
其单调增区间为$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{7π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
即$kπ-\frac{5π}{6}≤x≤kπ-\frac{π}{3}（k∈Z）$，也即$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}（k∈Z）$，
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的最值与单调区间，由最值可以确定出φ的值．属于中等题目．