Question

（18）如图，在多面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

（Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的正切值；

（Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算.已知它的体积公式

是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），试判断V_估与V的大小关系，并加以证明.

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）

Answer 1

（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识、考查空间想象能力和推理能力.

（Ⅰ）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B₁作B₁G⊥PQ，垂足为G.

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG为所求二面角的平面角.

过C₁作C₁H⊥PQ，垂足为H，由于相对侧面与底面所成二面角大小相等，故四边形B₁PQC₁为等腰梯形.

∴PG=（b－d），

又B₁G=h ，

∴tanB₁PG=（b＞d），即所求二面角的正切值为.

 

（Ⅱ）V_估＜V.

  证明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估= （cd+ab+4··）－·

 

   =［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

  =（a－c）（b－d）＞0，

∴V_估＜V.