Question

18．已知点P是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{a^2}$+y²=1上一动点．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点M（2，$\frac{π}{4}$），且与极轴所成的角为$\frac{3π}{4}$．
（1）写出直线 l的极坐标方程和椭圆C的参数方程．
（2）求出点P到直线l的距离的最小值，并求出对应点P的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）在直角坐标系中，求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程．直接写出椭圆C的参数方程．
（2）设与x+y-2$\sqrt{2}$=0平行的直线方程为x+y+m=0，即y=-x-m与椭圆方程联立，利用判别式，即可得出结论．

解答 解：（1）在直角坐标系中，过点 M（2，$\frac{π}{4}$），且与极轴所成的角为$\frac{3π}{4}$的直线的斜率为-1，
其直角坐标方程是y-$\sqrt{2}$=-（x-$\sqrt{2}$），即x+y-2$\sqrt{2}$=0，
其极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ-2$\sqrt{2}$=0，
即ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2．
椭圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；
（2）设与x+y-2$\sqrt{2}$=0平行的直线方程为x+y+m=0，即y=-x-m，
代入$\frac{{x}^{2}}{a^2}$+y²=1整理可得（1+a²）x²+2a²mx+m²a²-a²=0，
△=4a⁴m²-4（1+a²）（m²a²-a²）=0，∴m=±$\sqrt{1+{a}^{2}}$，x=-$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，y=$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$
∴点P到直线l的距离的最小值为$\frac{|\sqrt{1+{a}^{2}}-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$，对应点P的直角坐标（-$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$）．

点评 本题考查考查直线与椭圆的位置关系，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键．