Question

12．若-1＜x＜1，则y=$\frac{x}{x-1}$+x的最大值为0．

Answer 1

分析 利用分离常数法化简解析式，并凑出积为定值，由x的范围化为正数后，利用基本不等式求出函数的最大值．

解答 解：由题意得，y=$\frac{x}{x-1}$+x=$\frac{x-1+1}{x-1}+x$
=$\frac{1}{x-1}+1+x$=$x-1+\frac{1}{x-1}+2$，
∵-1＜x＜1，∴-2＜x-1＜0，则0＜-（x-1）＜2，
∴$-（x-1）+（-\frac{1}{x-1}）≥2\sqrt{-（x-1）（-\frac{1}{x-1}）}$=2，
则$x-1+\frac{1}{x-1}+2≤-2+2=0$，
当且仅当$x-1=\frac{1}{x-1}$时，此时x=0，取等号，
∴函数的最大值是0，
故答案为：0．

点评 本题考查了基本不等式在求函数最值中的应用，牢记“一正、二定、三相等”是解题的关键，考查化简、变形能力．