已知双曲线Γ:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的上焦点F.M是双曲线下支上的一点.线段MF与圆x2+y2-$\frac{2c}{3}$y+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0相切于点D.且|MF|=3|DF|.则双曲线Γ的渐近线方程为( )A．4x±y=0B．x±4y=0C．2x±y=0D．x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知双曲线Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x²+y²-$\frac{2c}{3}$y+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（　　）

A．

4x±y=0

B．

x±4y=0

C．

2x±y=0

D．

x±2y=0

分析由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结|MF|=3|DF|，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．

解答解：由x²+y²-$\frac{2c}{3}$y+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0，得x²+（y-$\frac{c}{3}$）²=$\frac{{b}^{2}}{9}$，
则该圆的圆心坐标为（0，$\frac{c}{3}$），半径为$\frac{b}{3}$．
设切点D（x₀，y₀）（y₀＞0），
则由x²+y²-$\frac{2c}{3}$y+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0与（x₀，y₀-c）•（x₀，y₀-$\frac{c}{3}$）=0，
解得：x₀=$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，y₀=$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$．
∴D（$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$），
由|MF|=3|DF|，得$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{DF}$，得M（$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{2c}$，-$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$ ），
代入双曲线Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x．
故选：D．