Question

1．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=8，AA₁=4，M为B₁C₁上一点且B₁M=2，点N在线段A₁D上，A₁D⊥AN．
（1）求直线A₁D与AM所成角的余弦值；
（2）求直线AD与平面ANM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，写出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角的余弦．
（2）利用线面垂直的判断定理得到$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥平面AMN，利用向量的数量积公式求出法向量$\overrightarrow{{A}_{1}D}$与$\overrightarrow{AD}$所成角的余弦．

解答 解：（1）建立空间直角坐标系如图．
可得$\overrightarrow{AM}$=（5，2，4），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，8，-4），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（=0+16-16=0
∴$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，
即直线A₁D与AM所成角的余弦值为0．
（2）$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥AM，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥AN，∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥平面AMN，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，8，-4）是平面AMN的一个法向量，
又$\overrightarrow{AD}$=（0，8，0），|$\overrightarrow{{A}_{1}D}$|=4$\sqrt{5}$，
|$\overrightarrow{AD}$|=8，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{AD}$=64；
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{64}{4\sqrt{5}×8}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AD与平面AMN所成的角余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查利用向量的数量积求两个向量的夹角余弦、求直线与平面所成的角的余弦，属于中档题．