Question

若实数a、b、c、d满足（b-lna）²+（c-d+2）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  1

  2

• C、2
• D、

  9

  2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,点到直线的距离公式

专题：导数的综合应用

分析：由题设条件：b-lna=0，设b=y，a=x，得到y=lnx；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=lnx与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答：解：∵（b-lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b-lna=0且c-d+2=0，
即b=lna，c-d+2=0，
设y=lnx，y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=lnx与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，
对曲线y=lnx求导：y′=

1

x

，
与直线y=x+2平行的切线斜率k=1=

1

x

，
解得：x=1，
将x=1代入y=lnx得：y=0，即切点坐标为（1，0），
∴切点到直线y=x+2的距离d=

1-0+2

2

=

3 2

2

，即d²=

9

2

，
则（a-c）²+（b-d）²的最小值为

9

2

．
故选：D．

点评：此题考查导数在求解函数最值中的应用，以及对数运算法则的应用，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用以及转化思想的应用．