Question

设M是圆x²+y²-6x-8y=0上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若|OM|•|ON|=150，求点N的轨迹方程．

Answer 1

设M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x，y），
由题设|OM|•|ON|=150，得

x 21 + y 21

•

x2+y2

=150，
当x₁≠0，x≠0时，∵N是射线OM上的点，
∴有

y

x

=

y1

x1

，设

y

x

=

y1

x1

=k，
有y=kx，y₁=kx₁，则原方程为x₁²+k²x₁²-6x₁-8kx₁=0，
由于x≠0，所以（1+k²）x₁=6+8k，
又|x₁x|（1+k²）=150，因为x与x₁同号，
所以x₁=

150

(1+k2)x

，代入上式得

150

x

=6+8k，
因为k=

y

x

，所以

150

x

=6+8

y

x

，
化简可得：3x+4y-75=0为所求．