Question

已知双曲线

2x2

9

-

2y2

3

=1，椭圆C与双曲线有相同的焦点，两条曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆C经过点M，点M的横坐标为2，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，l交椭圆于A、B两个不同点，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，依据条件，待定系数法求出待定系数，进而得到椭圆的标准方程．
（2）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用判别式大于0，求出m的取值范围．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只要证明k₁+k₂=0即可．设出A、B两个点的坐标，并用此坐标表示k₁，k₂，把（2）中根与系数的关系代入k₁+k₂化简可得结论．

解答：解（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，∵焦点坐标（±

6

，0），离心率是

3

2

，
a²=8，b²=a²-c²=2，
所以椭圆方程

x2

8

+

y2

2

=1
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=

1

2

，所以l的方程为：y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

?x2+2mx+2m2-4=0，
因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，（8分）
所以m的取值范围是{m|-2＜m＜2，m≠0}．（9分）
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只要证明k₁+k₂=0即可．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0
可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4（10分）
而k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

（11分）
=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

（12分）
=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m+2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0∴k₁+k₂=0，
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系的综合应用．