Question

（本小题满分14分）已知椭圆过点，点是椭圆的左焦点，点、是椭圆上的两个动点，且、、成等差数列．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：线段的垂直平分线经过一个定点.

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，设椭圆C的方程为，由已知点是椭圆的左焦点，可得，又因为椭圆过点，将点代入椭圆方程解出即可得椭圆的标准方程；（2）求证：线段的垂直平分线经过一个定点，由已知、、成等差数列，可得，由于，而点、是椭圆上的两个动点，可设，，这样得，，代入，求得，因此可设线段的中点为，再由，可得，得斜率为，写出线段的垂直平分线即可证出.

试题解析：（1）设椭圆C的方程为， 1分

由已知，得 2分

解得 3分

∴椭圆的标准方程为. 4分

（2）证明：设，，由椭圆的标准方程为，

可知， 5分

同理， 6分

， 7分

，，

. 8分

（ⅰ）当时，由得，

.

设线段的中点为，由，

得线段的中垂线方程为， 11分

，该直线恒过一定点. 12分

（ⅱ）当时，，或，，

线段的中垂线是x轴，也过点.

综上，线段的中垂线过定点. 14分

（2）问【解法二】

（ⅰ）若斜率存在时：

设直线为

联立，消得： 5分

设点，则： 6分

由于且

所以，

又因为，其中，故

可得，从而 8分

由（3）式及得

所以直线的中垂线为 10分

化简得 11分

故：直线的中垂线过定点 12分

（ⅱ）若斜率不存在时：同解法一. 14分

考点：椭圆的方程，二次曲线定点问题，直线与二次曲线位置关系.