Question

3．已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+3．
（I）解不等式：|g（x）|＜5；
（II）若对任意的x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将不等式等价为：-5＜|x-1|+3＜5，即只需解|x-1|＜2即可；
（2）问题等价为：f（x）的值域是g（x）值域的子集，再分别求出两函数的值域，根据集合间的关系确定a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由||x-1|+3|＜5得，
得-5＜|x-1|+3＜5，即-8＜|x-1|＜2，
所以，-2＜x-1＜2，解得，-1＜x＜3，
因此，原不等式的解集为：（-1，3）；
（Ⅱ） 因为任意的x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以，f（x）的值域是g（x）值域的子集，
即{y|y=f（x），x∈R}⊆{y|y=g（x），x∈R}，
根据绝对值三角不等式，|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
所以，f（x）的值域为：[|a+3|，+∞），
而g（x）=|x-1|+3的值域为：[3，+∞），
因此，[|a+3|，+∞）⊆[3，+∞），
即|a+3|≥3，解得a≤-6或a≥0，
所以，实数a的取值范围为：（-∞，-6]∪[0，+∞）．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及恒成立问题的等价与转化的方法，涉及函数值域的确定和集合间包含关系的判断，属于中档题．